Три характерных размера электрона и атома

Классический радиус электрона $r_0$ получают, приравнивая с точностью до числового множителя электростатическую энергию заряженного шара к энергии покоя электрона:

$$\frac{e^2}{r_0}=m_ec^2,\qquad r_0=\frac{e^2}{m_ec^2}.$$

Здесь $e$ — заряд электрона. Приведённая комптоновская длина волны равна $\bar\lambda_C=\hbar/(m_ec)$, постоянная тонкой структуры — $\alpha=e^2/(\hbar c)\simeq1/137$.

(a) Боровский радиус $a_0$ — масштаб длины, который можно составить из $e^2,\hbar,m_e$ без дополнительных числовых коэффициентов. Найдите его формулу из соображений размерности и вычислите значение в фемтометрах.

(b) Покажите, что три длины образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\alpha$:

$$a_0:\bar\lambda_C:r_0=1:\alpha:\alpha^2.$$

По этому соотношению найдите $\bar\lambda_C$ и $r_0$ в фемтометрах.