Преобразование Галилея для волновой функции

Покажите инвариантность одномерного уравнения Шрёдингера для свободной частицы

$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}$$

при преобразовании Галилея $x'=x-vt$, $t'=t$. Это означает, что существует функция

$$\Psi'(x',t')=f(x,t)\Psi(x,t),$$

где $f$ зависит от $x,t,\hbar,m,v$, причём

$$i\hbar\frac{\partial\Psi'}{\partial t'}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi'}{\partial x'^2}.$$

(a) Найдите $f(x,t)$. Подсказка: это универсальная функция, не зависящая от наблюдаемых исходного состояния. В частности, для плоской волны $f$ не может зависеть от её импульса или энергии.

(b) Покажите, что плоская волна $\Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)}$ преобразуется ожидаемым образом: выпишите $\Psi'$ и проверьте импульс и энергию частицы в новой системе отсчёта.