Заполнение зон и три типа материала

Цельный пример «что происходит в трёх системах?» из лекции 22 о металлах, изоляторах и полупроводниках. Рассматривается невзаимодействующая зонная модель электронов. Сначала автор подавляет спин: одна выбранная внутренняя компонента даёт одно доступное состояние на каждый пространственный уровень.

1. Есть цепочка из $N$ одинаковых потенциальных ям. Каждый уровень отдельной ямы превращается в зону из $N$ близких уровней; зоны в первой одномерной скалярной модели разделены щелями. Вначале поместите один электрон и дайте ему релаксировать в основное состояние, связав систему с окружением. Меняется ли среднее положение нормируемого стационарного состояния? Для движения центра пакета требуется ли оставаться в одном стационарном состоянии или нужна суперпозиция?

Теперь на каждую ячейку приходится один электрон, всего $N$. Как заполняются зоны при нулевой температуре? Где находится следующее свободное состояние? Сколько энергии нужно для возбуждения через щель $\Delta E$? Какой порог частоты имеет простая модель межзонного поглощения света? Объясните связь заполненной зоны и щели с зонным изолятором и сравните видимую прозрачность алмаза с металлическим откликом меди. Не считайте, что металл вообще не имеет никаких щелей между любыми другими зонами.

2. Затем перейдите к авторской трёхмерной картине. Нижняя зона отделена и целиком лежит ниже двух следующих, которые **перекрываются по энергии**. У каждой зоны $N$ состояний одной выбранной внутренней компоненты, а электронов всего $2N$. Как они распределяются по наименьшим энергиям? Обязательно ли оказываются заполнены две целые зоны? Есть ли незаполненные состояния со сколь угодно близкой энергией в большом образце? Чем это отличается от первого случая? Почему геометрия решётки и атомные орбитали могут дать разные зонные структуры у разных материалов?

Включите обсуждённое автором уточнение о спине: если гамильтониан не зависит от спина и каждый пространственный уровень двукратно вырожден, сколько состояний теперь в одной зоне? Может ли один электрон на ячейку дать частично заполненную зону уже в одном измерении? Поэтому заключение «всякая одномерная система с целым числом электронов на ячейку — изолятор» применять без этих условий нельзя.

3. Наконец, при нулевой температуре нижняя зона заполнена, верхняя пуста, а щель мала. С чем нужно сравнивать $\Delta E$, чтобы слово «мала» имело смысл? Автор характеризует тепловое возбуждение весом

$$w=e^{-\Delta E/(k_BT)}.$$

Объясните его поведение при низкой и высокой температуре и появление электронов в верхней зоне и дырок в нижней. Чем такая температурная зависимость отличается от большой щели первого случая? Здесь $w$ — относительный больцмановский вес отдельного возбуждения, а не автоматически нормированная вероятность или универсальная формула концентрации носителей.

Исходные рисунки условий ниже идут в порядке: образование разделённых зон и малая щель с заполненной нижней зоной. Штриховка разрешённых энергетических интервалов в первом рисунке ещё не задаёт их электронное заполнение. Вопрос о токе в бесконечном состоянии Блоха не следует заменять средним положением ненормируемой плоской волны.