Матрицы спина и проверка коммутатора

Цельный матричный пример и явно предложенные проверки из лекции 23. Пространственную часть состояния здесь не рассматривают: это отдельное двухмерное пространство спина $1/2$ с базисом

$$|\uparrow_z\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad |\downarrow_z\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

Известно, что $S_z$ даёт на этих состояниях соответственно $+\hbar/2$ и $-\hbar/2$, а $S^2$ на обоих даёт $3\hbar^2/4$. Лестничные операторы действуют так:

$$S_+|\downarrow_z\rangle=\hbar|\uparrow_z\rangle,\qquad S_+|\uparrow_z\rangle=0,$$

$$S_-|\uparrow_z\rangle=\hbar|\downarrow_z\rangle,\qquad S_-|\downarrow_z\rangle=0.$$

Постройте матрицы $S_z,S^2,S_+,S_-$ и затем

$$S_x=\frac{S_++S_-}{2},\qquad S_y=\frac{S_+-S_-}{2i}.$$

Почему только $S_z$ диагонален в выбранном базисе: выделена ли физически ось $z$? Выполните авторский явный Check: прямым перемножением проверьте $[S_x,S_y]=i\hbar S_z$, а затем остальные циклические соотношения.

Найдите нормированные собственные векторы и значения $S_x$ и $S_y$ в $z$-базисе. Автор отдельно предлагает самостоятельно проверить найденные $y$-векторы. Какова вероятность последующего результата $S_z=+\hbar/2$, если сначала получено $S_x=-\hbar/2$? А каковы вероятности обоих результатов $S_z$ для $S_x=+\hbar/2$?

Обозначение $S^2$ здесь — оператор $S_x^2+S_y^2+S_z^2$, а не квадрат числа $1/2$. Общая фазовая конвенция собственных векторов не меняет вероятности.