Базис спина вдоль наклонённой оси

Авторское упражнение, которое в лекции 23 прямо предлагается вместо отсутствующего на этой неделе домашнего задания. Ось измерения лежит в плоскости $xz$ и образует угол $\theta$ с положительным направлением $z$ к положительному $x$:

$$S_\theta=\cos\theta\,S_z+\sin\theta\,S_x,$$

$$S_z=\frac\hbar2\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad S_x=\frac\hbar2\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$

Какие измеримые значения возможны? Объясните это сначала через независимость спина $1/2$ от выбора пространственной оси, а затем явно составьте матрицу $S_\theta$ и найдите её собственные векторы в $z$-базисе.

Выведите обе нормированные функции $|\uparrow_\theta\rangle$, $|\downarrow_\theta\rangle$. Выполните все предложенные автором проверки: нормировки, взаимной ортогональности и собственных значений. Согласуются ли результаты с осями $z$ и $x$ при $\theta=0$ и $\theta=\pi/2$? Варианты, отличающиеся общей фазой одного вектора, физически эквивалентны.

В следующей лекции автор снова просит выполнить именно этот вывод. Здесь сохранено упражнение целиком один раз; плоскость $xz$ и вещественные коэффициенты являются частью его исходной геометрии.