Фаза и разделение пучка Штерна–Герлаха

Цельный пример опыта Штерна–Герлаха из лекции 23. В эффективной одномерной модели вблизи оси прибора компонента поля имеет вид $B_z=B_0+\beta z$ в области пролёта, а вне прибора взаимодействие выключено. Это локальная модель: она не утверждает, что глобальное магнитное поле имеет только линейную $z$-компоненту при отсутствии всех остальных компонент.

Пусть магнитный момент записан как $\boldsymbol\mu=\mu_0\mathbf S$, где $\mu_0$ — **знаковый** коэффициент. Взаимодействие

$$H_{\mathrm{int}}=-\mu_0S_z(B_0+\beta z).$$

До входа состояние имеет вид

$$\Psi(z,0)=\chi(z)\bigl(a|\uparrow_z\rangle+b|\downarrow_z\rangle\bigr),$$

где $\chi$ нормирована, $|a|^2+|b|^2=1$. Как и в фазовом расчёте автора, за время пролёта $\tau$ пренебрегайте пространственным перемещением и расплыванием **внутри** прибора, оставляя действие $H_{\mathrm{int}}$. Такое приближение импульса не является точным решением с кинетической энергией за произвольное время.

Составьте диагональную матрицу взаимодействия и найдите обе пространственно зависимые фазы на выходе. Какая часть каждой фазы вызвана $B_0$, а какая — градиентом? Используя связь умножения на $e^{ikz}$ со сдвигом импульса, найдите импульсные толчки обеих компонент. Сравните их с силой $-\partial_zH_{\mathrm{int}}$. Направления разделения нужно выводить из знака $\mu_0\beta$.

Что происходит при дальнейшем свободном распространении? Опишите корреляцию положения и спина, сохраняя обе ветви суперпозиции. Само прохождение через прибор уже означает регистрацию результата или лишь связывает две степени свободы? В идеальном пределе хорошо разделённых выходных пакетов найдите вероятности обнаружения каждой ветви и спин после регистрации. Разберите авторский частный случай $a=b=1/\sqrt2$: каковы исходные спиновые вероятности и что меняется после обнаружения в одной из ветвей?

В исходном выводе пространственная функция первоначально заменена постоянной, затем автор восстанавливает её смысл. Здесь она с самого начала обозначена $\chi$: импульсный толчок пакета не следует называть точным собственным значением всего импульса.