Обменный эффект для координат и спинов

(a) Пространственные волновые функции. Пусть $|\alpha\rangle,|\beta\rangle$ — ортогональные одночастичные состояния в одном измерении, $\psi_\alpha(x)=\langle x|\alpha\rangle$, $\psi_\beta(x)=\langle x|\beta\rangle$. Определим состояния различимых частиц, симметричное и антисимметричное:

$$|\Psi_D\rangle=|\alpha\rangle\otimes|\beta\rangle,\tag{1}$$

$$\begin{gathered}|\Psi_S\rangle=\frac1{\sqrt2}\bigl(|\alpha\rangle\otimes|\beta\rangle\\{}+|\beta\rangle\otimes|\alpha\rangle\bigr)\end{gathered},\tag{2}$$

$$\begin{gathered}|\Psi_A\rangle=\frac1{\sqrt2}\bigl(|\alpha\rangle\otimes|\beta\rangle\\{}-|\beta\rangle\otimes|\alpha\rangle\bigr)\end{gathered}.\tag{3}$$

Координаты первой и второй частиц задаются $\hat x_1=\hat x\otimes I$, $\hat x_2=I\otimes\hat x$. Пусть $D_X=\langle\Psi_X|(\hat x_1-\hat x_2)^2|\Psi_X\rangle$, где $X=D,S,A$. Найдите $D_S-D_D$, $D_A-D_D$ и кратко объясните смысл их знаков.

(b) Спины. Для двух частиц со спином $s$ обозначим через $|s,m_a\rangle$ собственное состояние $S_z$ со значением $\hbar m_a$. При $m_a\ne m_b$ определим

$$|\Psi_D\rangle=|s,m_a\rangle\otimes|s,m_b\rangle,$$

$$\begin{gathered}|\Psi_S\rangle=\frac1{\sqrt2}\bigl(|s,m_a\rangle\otimes|s,m_b\rangle\\{}+|s,m_b\rangle\otimes|s,m_a\rangle\bigr)\end{gathered},$$

$$\begin{gathered}|\Psi_A\rangle=\frac1{\sqrt2}\bigl(|s,m_a\rangle\otimes|s,m_b\rangle\\{}-|s,m_b\rangle\otimes|s,m_a\rangle\bigr)\end{gathered},$$

а также $D_X=\langle\Psi_X|(\vec S_1-\vec S_2)^2|\Psi_X\rangle$. Найдите $D_D,D_S,D_A$ через $m_a,m_b$ и упорядочьте их как $D_X\le D_Y\le D_Z$, где $\{X,Y,Z\}$ — перестановка $\{D,S,A\}$. [Указание: выразите $\vec S_1\cdot\vec S_2$ через операторы повышения и понижения.]