Поверхность Ферми в двумерной гармонической ловушке

Поверхность и энергия Ферми существуют не только для свободных электронов. Пусть $N$ невзаимодействующих электронов находятся в двумерной гармонической ловушке

$$V(x,y)=\frac12m_e\omega^2(x^2+y^2).\tag{12}$$

Электроны жёстко ограничены плоскостью $xy$, все взаимодействия между ними игнорируются. Число $N$ очень велико, поэтому суммы можно заменять соответствующими интегралами.

(a) Обозначения состояний через $k_x,k_y$ здесь уже неудобны. Каковы одночастичные состояния и энергии в ловушке?

(b) Найдите графическое представление одночастичных состояний и изобразите поверхность Ферми для $N$ электронов.

(c) Найдите энергию Ферми $E_F$.

(d) Найдите полную энергию основного состояния $E_{\mathrm{total}}$.

(e) Вычислите химический потенциал

$$\mu=\frac{\partial E_{\mathrm{total}}}{\partial N}\tag{13}$$

и объясните физический смысл результата.