Вырожденное вещество звёзд и гравитационный радиус

Можно непосредственно использовать формулы лекции, явно объясняя смысл каждой.

(a) Белый карлик имеет массу Солнца и состоит преимущественно из углерода. Найдите его радиус. Масса и радиус Солнца в исходнике равны $M_{\mathrm{sun}}=2\times10^{33}\,\text{г}$, $R_{\mathrm{sun}}=7\times10^5\,\text{км}$. Найдите отношение массовых плотностей белого карлика и Солнца.

(b) Найдите температуру Ферми белого карлика. Пусть на поверхности $10^4\,\text{К}$ — при этом он выглядит белым, — а в центре около $10^7\,\text{К}$. Обосновано ли приближение нулевой температуры?

(c) В нейтронной звезде давление вырожденных нейтронов препятствует сжатию. Найдите радиус такой звезды массы Солнца, считая её только свободным нейтронным газом. Найдите энергию Ферми нейтронов и сравните с их энергией покоя.

Сноска 1. Это плохое приближение к реальным нейтронным звёздам, в которых существенны ядерные взаимодействия.

(d) В описанной автором модели при массе $M$ выше предела Чандрасекара для нейтронной звезды вырожденное давление не уравновешивает гравитацию, и звезда сжимается в чёрную дыру. Её поверхность невозврата имеет радиус Шварцшильда $r_s$: изнутри этого радиуса объекты не могут выйти. Оцените $r_s$, составив длину из $M$, гравитационной постоянной $G_N$ и скорости света $c$. Вычислите при $M=M_{\mathrm{sun}}$ и сравните с (a),(c).

Контекст лекционной модели (глава 4, с.13-14). Звезда — шар равномерной плотности. $N$ — число нуклонов, $M_\star\simeq Nm_p$, $N_e=fN$ — число электронов, определяемое электрической нейтральностью. При радиусе $R$ и объёме $V=4\pi R^3/3$

$$E_{\mathrm{grav}}=-\frac{3G_NM_\star^2}{5R}.$$

$$E_F=\frac{\hbar^2}{2m_e}\left(\frac{3\pi^2N_e}{V}\right)^{2/3}.$$

$$E_{\mathrm{degen}}=\frac35N_eE_F.$$

Радиус модели определяется минимумом суммы этих энергий. В варианте нейтронного газа нейтроны несут и массу, и вырожденное давление. Это дополняет условие конкретным приближением из лекции, на которое ссылается автор; реальное звёздное строение этим не задаётся.