Почему можно независимо описывать далёкие электроны

Цельный вопрос и разобранный пример начала лекции 20. Если все электроны тождественны, как вообще можно описывать один электрон атома отдельной волновой функцией, не учитывая каждый электрон далеко от него?

Автор рассматривает две нормированные одночастичные функции: $\chi$ локализована около одного атома, а $\phi$ — около далёкого атома. Их пространственные области почти не перекрываются. Рассмотрите выбранный автором антисимметричный пространственный сектор двух электронов:

$$\Psi(x,y)=C[\chi(x)\phi(y)-\chi(y)\phi(x)].$$

Здесь $x,y$ могут обозначать трёхмерные позиции; внутреннее спиновое состояние в этом выбранном секторе не меняется. Найдите нормировку, обозначив перекрытие $S=\langle\chi|\phi\rangle$ и считая $|S|<1$. Как получается авторский множитель $1/\sqrt2$ при исчезающе малом перекрытии?

Раскройте $|\Psi(x,y)|^2$. Если $x$ находится около первого атома, а $y$ около второго, какие слагаемые малы и почему? При каких условиях локальное описание одной функцией становится хорошим приближением, а при каких обменные члены необходимо сохранять?

Не пропустите оставшийся в лекции вопрос о множителе $1/2$. В приближении неперекрывающихся пакетов в формальной плотности по помеченным координатам остаётся половина произведения плотностей. Противоречит ли это независимой регистрации **одного электрона в первой области и одного во второй**, если у реальных тождественных электронов нет наблюдаемой метки «первый»? Различайте эту регистрацию и нормированную одночастичную маргинальную плотность.