Полный спектр периодической дельта-решётки
Цельный пример периодической решётки из конца лекции 20 и его продолжения в лекции 21. Частица массы $m$ движется по всей прямой в потенциале
$$V(x)=\frac{\hbar^2g_0}{2mL}\sum_{n\in\mathbb Z}\delta(x-nL),\qquad g_0>0.$$
$L$ — период, $g_0$ — безразмерная сила отталкивающих барьеров. В этой части курса автор использует соглашение $T_Lf(x)=f(x+L)$. Общие собственные функции энергии и переноса удовлетворяют
$$\phi(x+L)=e^{iqL}\phi(x),$$
где $q$ вещественно и определяется с точностью до $2\pi/L$. Между соседними барьерами, при $0<x<L$,
$$\phi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\qquad E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}.$$
Проведите всё авторское построение спектра. Используйте фазу переноса, чтобы выразить $\phi(0-)$ и $\phi'(0-)$ через значения на $L-$. Наложите непрерывность и скачок производной
$$\phi'(0+)-\phi'(0-)=\frac{g_0}{L}\phi(0).$$
Получите две однородные связи для $A,B$ и условие существования ненулевого решения — дисперсионное соотношение между $E$ и $q$. Почему не требуется вводить независимые коэффициенты на каждом из бесконечного числа промежутков?
Решите условие графически так, как предлагает автор: сравните его правую часть с диапазоном $\cos(qL)\in[-1,1]$. Какие интервалы энергии разрешены, а какие запрещены? Почему при $g_0>0$ нет нулевой энергии? Объясните, почему при заданном $q$ бывает несколько разных энергий и нужен номер зоны. В пределе $g_0=0$ восстановите свободные волны и объясните, как одна парабола изображается в повторяющихся и приведённых зонах, не отождествляя разные состояния с одинаковым собственным значением переноса.
Продолжите все вопросы лекции 21 о параметрах: что происходит при росте барьеров, могут ли разрешённые зоны действительно исчезнуть при конечном $g_0$, что происходит при $g_0\to\infty$ и при переходе к высоким энергиям? Отделите ширину промежутка по $kL$ от ширины по энергии. Авторский вычислительный график иногда теряет узкую зону из-за разрешения; это необходимо отличать от исчезновения физического решения.
В этой задаче рассматриваются сами собственные энергии и функции Блоха. Движение пакета под внешней силой и эффективная масса — отдельные полные упражнения problem set 10.
