Передача фазы на управляющий регистр

Упражнение объясняет передачу фазы на управляющий регистр: роли управляющего и целевого регистров унитарного взаимодействия могут выглядеть переставленными. Пункт (a) независим от (b),(c),(d).

(a) Алгоритм Гровера использует отражения относительно отмеченного состояния. Рассмотрите способ получить их на квантовом компьютере. Пусть $f:\{1,2,\ldots,N\}\to\{0,1\}$ реализуется унитарным оператором

$$\begin{gathered}U_f(|x\rangle\otimes|y\rangle)\\=|x\rangle\otimes|y\oplus f(x)\rangle.\end{gathered}\tag{18}$$

где $x\in\{1,\ldots,N\}$, $y\in\{0,1\}$, а $\oplus$ — сложение по модулю 2. Определим

$$\begin{gathered}|+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},\\|-\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2}.\end{gathered}\tag{19}$$

Для любого $|\psi\rangle\in\mathbb C^N$ покажите

$$\begin{gathered}U_f(|\psi\rangle\otimes|+\rangle)\\=(V_+|\psi\rangle)\otimes|+\rangle,\end{gathered}$$

$$\begin{gathered}U_f(|\psi\rangle\otimes|-\rangle)\\=(V_-|\psi\rangle)\otimes|-\rangle.\end{gathered}\tag{20}$$

где $V_+,V_-$ — диагональные унитарные операторы. Найдите их в виде $\sum_xg_\pm(x)|x\rangle\langle x|$.

(b) Для унитарной матрицы $V$ размера $2\times2$ определим управляемую операцию

$$\begin{gathered}C_V=|0\rangle\langle0|\otimes I\\{}+|1\rangle\langle1|\otimes V.\end{gathered}$$

При унитарной матрице $U$ размера $2\times2$ покажите, что $(I\otimes U)C_V(I\otimes U^\dagger)$ имеет вид $C_W$, и найдите $W$.

(c) Операция $C_X$ — управляемое отрицание: второй бит меняется только при первом бите, равном 1. Вычислите $(I\otimes H)C_X(I\otimes H)$, где преобразование Адамара равно

$$H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$

(d) Вычислите $(H\otimes H)C_X(H\otimes H)$. Как просто истолковать результат?