Ток падающей и сферической рассеянной волн

При упругом рассеянии частиц в трёх измерениях волновая функция на больших расстояниях имеет вид

$$\Psi(\mathbf x)=e^{ikz}+\frac{f(\theta)}r e^{ikr}.$$

Общий временной множитель $e^{-iEt/\hbar}$, где $E=\hbar^2k^2/(2m)$, опущен: здесь он не влияет на ответ. Плоская волна описывает падающие частицы, движущиеся вдоль $+z$. Мишень находится в начале координат, второе слагаемое описывает расходящиеся рассеянные частицы. Комплексная функция $f(\theta)$ не зависит от $\varphi$. Напомним: $z=r\cos\theta$.

Разделите ток вероятности на вклад плоской волны $\mathbf J_1$, сферической волны $\mathbf J_2$ и интерференционный вклад $\mathbf J_{12}$:

$$\mathbf J=\mathbf J_1+\mathbf J_2+\mathbf J_{12}.$$

(a) Найдите $\mathbf J_1$ и его полный поток через большую сферу радиуса $R$ с центром в начале координат.

(b) Найдите радиальную компоненту $\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf J_2$ и её поток через эту сферу при $R\to\infty$. Ответ оставьте интегралом по телесному углу $d\Omega$ либо по $d\theta$.

(c) Найдите радиальный интерференционный ток, оставив только главный порядок $1/r$ и отбросив члены $1/r^2$. Покажите, что ответ можно записать как

$$\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf J_{12}=\frac{\hbar k}{mr}\operatorname{Im}[i(\cdots)],$$

и найдите содержимое скобок: оно зависит от $f(\theta)$, $\cos\theta$ и произведения $kr$ в экспонентах. Тонкий вопрос о потоке этого слагаемого автор оставляет на будущее; он приводит к оптической теореме.