Свободная эволюция нормированного гауссова пакета

Начальное состояние частицы массы $m$ задано нормированным пакетом

$$\Psi_a(x,0)=\frac{1}{(2\pi)^{1/4}\sqrt a}\exp\left(-\frac{x^2}{4a^2}\right),$$

где $a$ — длина, характеризующая начальную ширину.

(a) Проверьте нормировку.

(b) Найдите $\Phi_a(k)$ в представлении Фурье

$$\Psi_a(x,0)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi_a(k)e^{ikx}\,dk.$$

(c) Считая частицу свободной, найдите $\Psi_a(x,t)$ для любого $t>0$. Ответ удобнее записывать через $\tau=2ma^2/\hbar$.

(d) Введём обозначение

$$G(x;a)=\frac1{\sqrt{2\pi}a}\exp\left(-\frac{x^2}{2a^2}\right)=|\Psi_a(x,0)|^2.$$

Выразите $|\Psi_a(x,t)|^2$ через $G$ с зависящей от времени шириной $a(t)$ и найдите $a(t)$.

Полезный интеграл для комплексных $A,B$ при $\operatorname{Re}A>0$:

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-Ax^2+Bx}\,dx=\sqrt{\frac\pi A}\exp\left(\frac{B^2}{4A}\right).$$