Тождество Парсеваля и импульс электрона водорода

(a) Рассмотрите пары Фурье $(\Psi(x),\Phi(p))$ для одномерных волновых функций и $(\Psi(\mathbf x),\Phi(\mathbf p))$ для трёхмерных. С помощью формул преобразования Фурье и интегрального представления дельта-функции докажите

$$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x)|^2\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|\Phi(p)|^2\,dp,$$

$$\int|\Psi(\mathbf x)|^2\,d^3x=\int|\Phi(\mathbf p)|^2\,d^3p.$$

Примечание источника: в математике это теорема Планшереля; исходное равенство Парсеваля относится к рядам Фурье.

(b) Волновая функция основного состояния водорода равна $\Psi(\mathbf x)=N e^{-r/a_0}$, где $r=|\mathbf x|$, $a_0$ — боровский радиус, $N$ — нормировочная постоянная. Найдите $N$. Её преобразование Фурье, которое выводить не требуется, имеет вид

$$\Phi(\mathbf p)=\frac{N'}{(1+a_0^2p^2/\hbar^2)^2},\qquad p=|\mathbf p|.$$

Найдите $N'$; интеграл разрешено вычислять системой символьной алгебры. Какова вероятность, что модуль импульса электрона превышает $\hbar/a_0$? Интегралы выпишите явно, а вычислить их можно на компьютере. Источник ссылается на эксперимент Lohan и Weigold(1981), «Direct measurement of the Electron Momentum Probability Distribution in Atomic Hydrogen», Physics Letters86A,139–141.