Гауссов пакет с минимальной неопределённостью

Рассмотрите $\psi(x)=N\exp[-x^2/(2a^2)]$, где $N$ вещественно, а $a>0$ — вещественная длина. Полезны интегралы

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-Ax^2+Bx}\,dx=\sqrt{\frac\pi A}e^{B^2/(4A)},\quad\operatorname{Re}A>0,$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-Ax^2}\,dx=\frac1{2A}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-Ax^2}\,dx.$$

(a) В координатном представлении найдите $\Delta x,\Delta p$ и проверьте, что достигается равенство в $\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$. Подсказка: вычисления можно сделать коротко; второй интеграл позволяет не находить $N$, а при вычислении $\langle\hat p^2\rangle$ один множитель $\hat p$ можно перенести на $\psi^*$.

(b) Найдите преобразование Фурье $\phi(p)$ функции $\psi(x)$. Проверьте результат по равенству Парсеваля, затем снова найдите $\Delta p$ в импульсном представлении.