Комплексная ширина и расплывание гауссова пакета

Рассмотрите

$$\psi(x)=N\exp\left(-\frac{x^2}{2\Delta^2}\right),\qquad\Delta\in\mathbb C,\quad\operatorname{Re}(\Delta^2)>0,$$

где $N$ вещественно и $\Delta^*\ne\Delta$. Упомянутые в источнике интегралы приведены здесь:

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ux^2+vx}\,dx=\sqrt{\frac\pi u}e^{v^2/(4u)},\quad\operatorname{Re}u>0,$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ux^2}\,dx=\frac1{2u}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ux^2}\,dx.$$

Докажите и используйте также $\operatorname{Re}(1/z)=\operatorname{Re}(z)/|z|^2$ для ненулевого комплексного $z$.

(a) Найдите $\Delta x,\Delta p$ в координатном представлении. Выразите их через $|\Delta|$ и $\operatorname{Re}(\Delta^2)$: $\Delta x$ зависит от обеих величин, а $\Delta p$ — только от $\operatorname{Re}(\Delta^2)$. Примечание источника: $\Delta x$ можно записать и через одну величину $\operatorname{Re}(1/\Delta^2)$.

(b) Найдите $\phi(p)$, проверьте равенство Парсеваля и повторно вычислите $\Delta p$ в импульсном представлении.

(c) Положите $\Delta=|\Delta|e^{i\varphi_\Delta}$ с вещественной фазой. Покажите, что произведение $\Delta x\Delta p$ зависит только от тригонометрической функции $\varphi_\Delta$, а $|\Delta|$ сокращается. Разумны ли ответы при $\varphi_\Delta=0$ и $\pi/4$?

(d) Рассмотрите свободную эволюцию пакета из задачи 4.3. Для самостоятельного чтения приведены его начальное состояние и независимо выведенное свободное решение:

$$\Psi_a(x,0)=\frac{e^{-x^2/(4a^2)}}{(2\pi)^{1/4}\sqrt a},$$

$$\Psi_a(x,t)=\frac{\exp[-x^2/(4a^2b)]}{(2\pi)^{1/4}\sqrt a\sqrt b},\quad b=1+\frac{i\hbar t}{2ma^2}.$$

Чему равна начальная $\Delta p$? Определите комплексную зависящую от времени $\Delta^2$ и проверьте по(a), что $\Delta p$ остаётся постоянной.