Метод пристрелки для ямы со ступенью

Для потенциала четвёртой степени после перехода к безразмерной координате получается

$$-\frac12\frac{d^2\psi}{du^2}+(u^4-e)\psi=0.$$

Автор приводит команды Mathematica для построения чётного решения на $0\le u\le3.5$ при выбранном $e$:

Clear[e, psi]
v[x_] := x^4
e = 0.65;
psi = psi /. NDSolve[{-(1/2) psi''[u] + (v[u]-e) psi[u] == 0,
  psi[0] == 1, psi'[0] == 0}, psi, {u, 0, 3.5}][[1]];
Plot[psi[u], {u, 0, 3.5}]

После этого, например, psi[0.5] возвращает значение функции при $u=0.5$. Изучите работу примера; энергия основного состояния немного выше 0.65.

Затем вернитесь к яме со ступенью: $V=\infty$ при $x<0$ или $x>2a$, $V=0$ на $0<x<a$ и $V=V_0$ на $a<x<2a$, причём $z_0^2=2ma^2V_0/\hbar^2=(2\pi)^2$. Два уровня ниже ступени автор записывает с пропущенными цифрами: E1=0.##436V0 и E2=0.##747V0.

(a) Положите $x=au$, $0\le u\le2$, запишите $V=V_0f(u)$ и получите безразмерное дифференциальное уравнение с энергией $e=E/V_0$. Методом пристрелки восстановите оба уровня и найдите $E_3,E_4$.

(b) Для медленно меняющегося потенциала амплитуда волновой функции примерно пропорциональна квадратному корню из локальной длины волны де Бройля. Ступень не является медленным изменением, но проверьте, насколько это соотношение работает численно. Постройте собственное состояние с 8 узлами — восьмое возбуждённое состояние — и найдите энергию. Определите отношение амплитуд $A_L/A_R$ слева и справа и сравните с предсказанием по длинам волн де Бройля.