Плотность электрического тока квантовой частицы

Используйте калибровочное преобразование исходного листка:

$$\psi'=e^{-iqf/(\hbar c)}\psi,\tag{3}$$

$$\begin{gathered}\vec A'=\vec A-\vec\nabla f,\\\phi'=\phi+\frac1c\partial_t f.\end{gathered}\tag{4}$$

Используйте $\hat v_i=(-i\hbar\partial_i-qA_i/c)/m$ и уравнение с минимальным взаимодействием $i\hbar\partial_t\psi=[(\vec p-q\vec A/c)^2/(2m)+q\phi]\psi$, как в задаче 3 листка 9.

Умноженный на заряд поток вероятности из уравнения Шрёдингера даёт плотность электрического тока, если правильно учесть векторный потенциал. Это существенно для квантового эффекта Холла.

В отсутствие поля поток из курсов 8.04/8.05 равен

$$\vec S(\vec x,t)=\frac\hbar m\operatorname{Im}(\psi^*\vec\nabla\psi).\tag{16}$$

В электромагнитном поле он принимает вид

$$\begin{gathered}S_i=\frac\hbar m\operatorname{Im}(\psi^*\partial_i\psi)\\{}-\frac q{mc}|\psi|^2A_i\\=\operatorname{Re}(\psi^*\hat v_i\psi).\end{gathered}\tag{17}$$

Этот поток вероятности сохраняется; электрический ток равен $\vec j=q\vec S$.

(a) Выведите (17). [Указание: удобна калибровка $\vec\nabla\cdot\vec A=0$. Как при выводе (16), получите $\partial_t\rho+\vec\nabla\cdot\vec S=0$ при $\rho=\psi^*\psi$.]

(b) Пусть $\psi$ имеет размерность $1/\text{длина}^{3/2}$, что следует из $\int d^3x\,\psi^*\psi=1$. Покажите, что размерность $\vec j$ — заряд на площадь за время.

(c) Покажите, что во всех калибровках получается один и тот же $\vec S$: преобразования (3),(4) для $\psi,\vec A$ его не меняют.