Энергетический спектр кольца и эффект Ааронова—Бома

Обычный лекционный разбор эффекта Ааронова—Бома более общ, чем этот, но может ошибочно создать впечатление, что обнаружить эффект можно только интерференционным опытом. Эта задача показывает другой способ.

Как объясняется у Гриффитса на с.385-387 (с.344-345 первого издания), эффект меняет спектр энергии подходящей системы. Рассмотрим тот же пример.

Частица массы $m$ с зарядом $q$ движется по окружности радиуса $b$. Вдоль её оси проходит соленоид радиуса $a<b$: внутри поле $\vec B=(0,0,B_0)$ постоянно, снаружи равно нулю. Это полностью задаёт геометрию; дополнительный книжный рисунок в исходном PDF не приведён.

(a) Найдите векторный потенциал внутри и снаружи с $A_r=A_z=0$, $A_\phi=\alpha(r)$ в цилиндрических координатах $z,r,\phi$.

(b) Запишите уравнение Шрёдингера частицы на $r=b$ с найденным потенциалом. [Указание автора: уравнение приведено и у Гриффитса.]

(c) Решите его, найдите собственные энергии и состояния.

(d) Изобразите энергии как функции охваченного потока $\Phi$. Покажите периодичность спектра как множества энергий с периодом $\Phi_0$ и найдите $\Phi_0$. При каких потоках поле не меняет спектр кольца? Почему определяется только дробная часть $\Phi/\Phi_0$? Здесь уточнён исходник: отдельная ветвь с фиксированным целым квантовым числом не периодична; периодичность относится к спектру с перенумерацией уровней.

(e) Добавьте удерживающий дефект при $\phi=0$: кроме протяжённых состояний появляются локализованные около него. Для простоты их функции строго равны нулю вне $(-\phi_0,\phi_0)$ при $\phi_0<\pi$. Покажите независимость их энергий от соленоида. [Указание: найдите калибровку с $\vec A=0$ на всей области ненулевой функции и объясните, почему рассуждение не работает для (c).]

[Вывод автора в рамках принятой строгой локализации: кольцо находится в области $\vec B=0$, но ненулевой $\vec A$ влияет на энергии состояний, охватывающих всё кольцо, и не влияет на энергии состояний с указанным ограниченным носителем. Аналог в интерференционном опыте: сдвиг возникает, когда соответствующие пути охватывают соленоид.]