Проверка импульса для Адамара

Второй явно обозначенный автором пример построения вентиля в лекции 24: на доске написано «Ex2: Turn on By for a time T». Автор предлагает одним импульсом поля вдоль $y$ получить

$$|0\rangle\longmapsto\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2},$$

$$|1\rangle\longmapsto\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2},$$

то есть вентиль Адамара

$$H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$

Разберите всю эту физическую конструкцию, проверив обе базисные ветви, а не только первую. Выберите знак поля так, чтобы спиновый гамильтониан был $H_Y=\hbar\omega\sigma_y$, $\omega>0$, где

$$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$$

Найдите оператор импульса $U_Y(T)=e^{-i\omega T\sigma_y}$ и время, при котором первая указанная ветвь получается. Как действует этот же импульс на $|1\rangle$ и на произвольную суперпозицию? Действительно ли он совпадает с Адамаром хотя бы с точностью до **одной общей** фазы? Может ли помочь другая длительность одного импульса только вдоль $y$?

Уточнение источника: матрица Адамара и обе требуемые ветви заданы автором правильно, но его физическое отождествление с одним $y$-импульсом требует проверки. Исходная доска сохранена в разборе; исправленная последовательность полей там явно отделена от исходного утверждения.