Моменты осциллятора и порождающая функция Эрмита

(a) Найдите среднее $x^4$ в собственном состоянии энергии гармонического осциллятора с номером $n$.

(b) Найдите в этом состоянии $\Delta x,\Delta p$ и их произведение.

(c) Определим многочлены $H_n(\xi)$ порождающей функцией

$$e^{-s^2+2s\xi}=\sum_{n=0}^{\infty}H_n(\xi)\frac{s^n}{n!}.$$

Проверьте, что $H_n(\xi)=(2\xi)^n+\cdots$, где пропущены меньшие степени, и докажите уравнение

$$H_n''-2\xi H_n'+2nH_n=0.$$