Когерентное состояние осциллятора через экспоненту

Для гармонического осциллятора определим

$$\psi_\alpha=N\exp(\alpha\hat a^\dagger)\phi_0,\qquad\alpha\in\mathbb C,$$

где $\phi_0$ — нормированное основное состояние, $\hat a^\dagger$ — оператор рождения. Для первых двух вопросов удобно разложить экспоненту в ряд.

(a) Найдите $N$, обеспечивающую нормировку $\psi_\alpha$.

(b) Покажите, что $\psi_\alpha$ — собственное состояние оператора уничтожения $\hat a$, и найдите собственное значение.

(c) Найдите среднее значение гамильтониана.

(d) Найдите неопределённость энергии.

(e) Рассматривая собственное уравнение как дифференциальное, получите явную нормированную координатную волновую функцию.