Дельта-ямы и устойчивое расстояние в модели молекулы

Снова рассмотрите $V(x)=-g\delta(x-a)-g\delta(x+a)$, $g>0$, для частицы массы $m$. Энергия чётного связанного состояния выражается через $\xi=\kappa a$:

$$\frac E{E_0}=-\xi^2,\qquad E_0=\frac{\hbar^2}{2ma^2},$$

$$\frac{\xi}{1+e^{-2\xi}}=\lambda,\qquad\lambda=\frac{mag}{\hbar^2}=\frac a{a_0},\quad a_0=\frac{\hbar^2}{mg}.$$

При фиксированном $g$ величина $a_0$ задаёт естественный масштаб длины. Введите положительный масштаб энергии одной дельта-ямы $E_\infty=mg^2/(2\hbar^2)$.

Это модель двухатомной молекулы с межатомным расстоянием $2a$. Пусть отталкивание ионов на расстоянии $x$ равно $V_r(x)=\beta g/x$, где $\beta>0$ мало. Полная энергия $V_{\rm tot}=E+V_r(2a)$.

(a) Запишите $E=-E_\infty f(\xi,\lambda)$ и найдите $f$. Постройте $E$ как функцию $a/a_0=\lambda$ и объясните зависимость основного уровня от расстояния. Каковы пределы при $a\to0$ и $a\to\infty$?

(b) Выразите $V_r(2a)$ через $E_\infty,\beta,\lambda$.

(c) Постройте $V_{\rm tot}$ в зависимости от $a/a_0$ при нескольких $\beta$. При достаточно малом $\beta$ должен появиться устойчивый экстремум. Чему примерно равно $a/a_0$ в этой точке при $\beta=0.31$?