Отражение пакета от ступени и время задержки

Потенциал равен $V_0$ при $x>0$ и нулю при $x<0$. Из $x=-\infty$ приходит пакет, все импульсные компоненты которого имеют энергии ниже $V_0$. Положите $\hat k^2=2mV_0/\hbar^2$ и запишите

$$\Psi_{\rm inc}(x,t)=\sqrt a\int_0^{\hat k}\Phi(k)e^{ikx-iE(k)t/\hbar}\,dk,\quad x<0,$$

$$a=\frac\hbar{\sqrt{mV_0}},\qquad\Phi(k)=e^{-\beta^2a^2(k-k_0)^2},\quad k_0<\hat k.$$

Здесь $\beta$ вещественно и безразмерно, $\Phi$ вещественна, а размерность $\Psi$ — $L^{-1/2}$. Соглашение из упомянутой автором лекции: амплитуда отражения $r(E)=-e^{2i\delta(E)}$, где $\delta(E)=\arctan\sqrt{E/(V_0-E)}$ при $0<E<V_0$ (лекция 16,3.21–3.22).

(a) Запишите отражённый пакет аналогичным интегралом с фазой $\delta(E)$. Введите безразмерные $K,u,\tau$: $k=K/a$, $x=au$, $t=\hbar\tau/V_0$, $k_0=K_0/a$.

(b) Определите пропущенные константы в $du/d\tau=\#K_0$ и $\Delta u\Delta K\ge\#$. Приближая $|\Phi(K)|^2$ полной гауссовой функцией, найдите $\Delta K$ и наименьшую возможную $\Delta u$ через $\beta$.

(c) Определите константы, обозначенные $\#$:

$$E(k)=\#V_0K^2,$$

$$e^{2i\delta(E)}=\#+\#K^2+iK\sqrt{\#+\#K^2}\equiv w(K).$$

(d) Покажите, что задержке отражённого пакета $\Delta t=2\hbar\delta'(E)$ соответствует

$$\Delta\tau=\frac{\#}{K_0\sqrt{\#+\#K_0^2}},$$

и найдите все константы.

(e) Докажите, что при $u<0$ и всех $\tau$ полная волновая функция имеет вид

$$\begin{gathered}a^{1/2}\Psi(u,\tau)=\int_0^{\#}dK\,e^{-\beta^2(K-K_0)^2}e^{-i\#K^2\tau}\\ \times[e^{iKu}-e^{-iKu}w(K)],\end{gathered}$$

и определите две константы.

(f) При $\beta=4,K_0=1$ найдите $\Delta K,\Delta u$ и предсказанную задержку $\Delta\tau$. Необязательный вопрос без оценки: можно ли обоснованно предположить, быстро ли изменится форма пакета? В Mathematica вычислите и постройте $|a^{1/2}\Psi(u,\tau)|^2$ на $-30\le u\le0$ при $\tau=-20,-5,0$. Для $\tau=20$ определите задержку по положению пика и сравните с аналитическим ответом.