Фаза рассеяния и теорема Левинсона

Для потенциала $V(x)=-V_0$ на $0<x<a$, нулевого при $x>a$ и бесконечного при $x<0$ в курсе получена формула

$$\tan\delta=\frac{1-(k'/k)\cot(k'a)\tan(ka)}{\tan(ka)+(k'/k)\cot(k'a)},$$

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},\quad k'^2=\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2},\quad z_0^2=\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2}.$$

(a) При $E\to0$ величина $ka\to0$. К чему стремится $k'a$? Вне порога нулевой энергии $z_0=(j+1/2)\pi$ покажите, что $\tan\delta\to0$ и можно выбрать ветвь $\delta\to0$. В исходнике утверждение дано без этого исключения; на самом пороге оно неверно.

(b) Найдите предел $\tan\delta$ при $E\to\infty$ и подробно объясните ответ.

(c) Введите $u=ka$ и найдите функцию $f$ в $\tan\delta=f(u;z_0)$, $\delta=\operatorname{ArcTan}f$. Главная ветвь ArcTan со значениями $(-\pi/2,\pi/2)$ даёт скачки. Автор предлагает взять производную, а затем проинтегрировать от $\delta(0)=0$:

$$\delta(u;z_0)=\int_0^u\frac{d}{du'}\operatorname{ArcTan}[f(u';z_0)]\,du'.$$

Производную и интеграл вычислите на компьютере; можно предложить более простой способ построения непрерывной ветви.

(d) Постройте непрерывные фазы для $z_0=2,5,9$ на интервалах $0\le u\le15$, $0\le u\le20$ и $0\le u\le30$ соответственно. Объясните согласие с теоремой Левинсона и укажите, насколько конечное значение каждого графика близко к ожидаемому $\delta(E=\infty)$.