Дельта-уровень как предел узкой прямоугольной ямы

Выведите энергию связанного состояния $V_\delta(x)=-\alpha\delta(x)$, $\alpha>0$, из конечной ямы $V_a(x)=-V_0$ при $|x|<a$ и нуля снаружи. Ширина-регулятор $2a$ стремится к нулю, глубина растёт, а интегральная сила должна воспроизвести $-\alpha\delta(x)$. Единичная дельта-функция имеет площадь 1; итоговая связанная энергия не должна зависеть от $a$.

(a) При заданном $a$ выразите нужную глубину $V_0$ через $\alpha,a$.

(b) Найдите $z_0^2$ ямы. Что происходит с $z_0$ при $a\to0$? Почему это разумно?

(c) При малом ненулевом $a$ найдите ведущие приближения для $\eta,\xi$ через $z_0$.

(d) Получите отсюда энергию дельта-ямы. Совпадает ли она с известным ответом? Приведите ясный вывод.

В листе формул экзамена даны

$$\eta^2=\frac{2m(E+V_0)a^2}{\hbar^2},\quad\xi^2=\frac{2m|E|a^2}{\hbar^2},\quad z_0^2=\frac{2mV_0a^2}{\hbar^2},$$

$$\eta^2+\xi^2=z_0^2,\quad\xi=\eta\tan\eta\ \text{(чётное состояние)},$$

а также известная энергия дельта-ямы $E=-m\alpha^2/(2\hbar^2)$.