Два спина: выбор базиса и поправки энергии

Рассмотрите две частицы со спином $1/2$:

$$H_0=\frac{E_0}{\hbar^2}\,\mathbf S_1\cdot\mathbf S_2.$$

Автор диагонализует $H_0$ с помощью полного момента $\mathbf J=\mathbf S_1+\mathbf S_2$. Найдите энергии синглета и триплета и их кратности, затем разберите оба случая единого примера.

**Случай 1.** Добавим

$$\delta H_+=\frac\Delta\hbar(S_{z,1}+S_{z,2}).$$

Выберите подходящий невозмущённый базис, найдите энергии и изобразите уровни энергии. Синглет имеет вид

$$|0,0\rangle=\frac{|+\rangle|{-}\rangle-|{-}\rangle|+\rangle}{\sqrt2}.$$

Триплет изначально можно представить любыми тремя ортонормированными векторами. Автор оставляет читателю объяснение, почему механическое использование диагональных матричных элементов первого порядка в неудачно выбранном базисе триплета может дать неверный результат.

**Случай 2.** Вместо этого добавим

$$\delta H_-=\frac\Delta\hbar(S_{z,1}-S_{z,2}).$$

Это описывает противоположные магнитные взаимодействия, как у позитрония. Вычислите матричные элементы в связанном базисе $|1,1\rangle,|1,0\rangle,|1,-1\rangle,|0,0\rangle$ и найдите поправки к энергиям первого и второго порядков по $\Delta$ там, где применима теория возмущений. Здесь $S_z|\pm\rangle=\pm(\hbar/2)|\pm\rangle$.