Тонкая структура водорода и уровни с n = 2

Рассмотрите тонкую структуру водорода. Пренебрегите спином протона и используйте кулоновский гамильтониан

$$H_0=\frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{r},$$

$$\alpha=\frac{e^2}{\hbar c},\qquad a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}.$$

Используется гауссовская система электромагнитных единиц, $e>0$, $m\simeq m_e$; точнее, в нерелятивистской кулоновской задаче берётся приведённая масса. Невозмущённая волновая функция основного состояния равна

$$\psi_{100}(\mathbf r)=\frac{e^{-r/a_0}}{\sqrt{\pi a_0^3}}.$$

Сначала оцените характерные импульс и скорость электрона и величину релятивистской поправки относительно кулоновской энергии. Далее автор выполняет следующий единый расчёт.

**Релятивистская поправка.** Разложите $\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}-mc^2$ до члена с $p^4$ и вычислите поправку первого порядка к энергии водородного состояния с квантовыми числами $n,l,j,m_j$.

**Спин-орбитальное взаимодействие.** Вычислите магнитное поле протона в мгновенной системе покоя электрона, затем оцените энергию взаимодействия, используя $\boldsymbol\mu_e=-e\mathbf S/(mc)$. Вектор $\mathbf r$ направлен от протона к электрону. Используйте данное автором нерелятивистское соотношение

$$\mathbf B=-\frac{\mathbf v}{c}\times\frac{e\mathbf r}{r^3},$$

где $\mathbf v$ — скорость электрона относительно протона, и выразите результат через $\mathbf L$.

Результат из уравнения Дирака ровно вдвое меньше полуклассической оценки магнитной энергии. Учтите этот множитель при вычислении спин-орбитального сдвига первого порядка для $l\ge1$. Можно использовать

$$\langle\mathbf S\cdot\mathbf L\rangle=\frac{\hbar^2}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac34\right],$$

$$\langle r^{-3}\rangle=\frac1{n^3l(l+\tfrac12)(l+1)a_0^3}.$$

Сложите два вклада отдельно для $j=l\pm1/2$. Полная ведущая поправка тонкой структуры с необходимым при $l=0$ дарвиновским вкладом дана в конспекте:

$$\Delta E_{nj}=\frac{\alpha^4mc^2}{8n^4}\left(3-\frac{4n}{j+1/2}\right).$$

Предыдущую спин-орбитальную формулу нельзя подставлять при $l=0$: там этот вклад равен нулю. Вывод дарвиновского члена и уравнения Дирака в этот пример не входит.

**Уровни с $n=2$.** Изобразите уровни энергии водорода с ведущей тонкой структурой. Кулоновская энергия равна $-\alpha^2mc^2/8$. Включите $2S_{1/2}$, $2P_{1/2}$ и $2P_{3/2}$. Вырождены ли $2S_{1/2}$ и $2P_{1/2}$ в этом приближении? Укажите, как упомянутый далее лэмбовский сдвиг меняет этот вывод; его количественный вывод находится за пределами примера.