Высшие порядки и нормировка в теории возмущений

Контекст главы 1 этого курса: $H(\lambda)=H^{(0)}+\lambda\delta H$, где $\delta H$ эрмитов, а уровень $E_n^{(0)}$ невырожден. Нормированные собственные векторы $H^{(0)}$ обозначены $|n^{(0)}\rangle$. Используются разложения

$$|n\rangle_\lambda=\sum_{k\ge0}\lambda^k|n^{(k)}\rangle,$$

$$E_n(\lambda)=\sum_{k\ge0}\lambda^kE_n^{(k)}.$$

Принято $\langle n^{(0)}|n^{(k)}\rangle=0$ при $k\ge1$: коэффициент исходного состояния оставляют равным единице, а не нормируют весь возмущённый вектор.

(a) Вычислите поправку к состоянию второго порядка $|n^{(2)}\rangle$ и поправку к энергии третьего порядка $E_n^{(3)}$.

(b) Состояние $|n\rangle_\lambda$ не нормировано. Используя его выражение с первой поправкой, пропорциональной $\lambda$, вычислите до порядка $\lambda^2$ величину $Z_n(\lambda)$, определённую равенством

$$\frac1{Z_n(\lambda)}\equiv {}_\lambda\langle n|n\rangle_\lambda.\tag{1}$$

Какова вероятность того, что при измерении состояние $|n\rangle_\lambda$ будет обнаружено вдоль своего невозмущённого состояния $|n^{(0)}\rangle$?