Поляризуемость возбуждённых состояний частицы на кольце

Снова рассмотрим частицу массы $m$, движущуюся в плоскости $xy$ по круговому кольцу радиуса $a$. Единственная переменная системы — азимутальный угол $\phi$. Состояние описывается волновой функцией $\psi(\phi)$ с периодом $2\pi$. В предыдущем домашнем задании были найдены собственные состояния энергии:

$$\psi_n(\phi)=\langle\phi|n\rangle=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{in\phi},\quad(n\in\mathbb Z),\tag{2}$$

$$E_n=\frac{\hbar^2n^2}{2ma^2}\equiv E_1n^2,$$

$$E_1=\frac{\hbar^2}{2ma^2}.\tag{3}$$

Основное состояние $n=0$ имеет нулевую энергию и невырождено. Все остальные уровни двукратно вырождены: состояния с $\pm n$ имеют одну энергию.

Частица имеет заряд $q$ и помещена в однородное электрическое поле $\varepsilon$, направленное вдоль оси $x$. Поэтому к гамильтониану добавляется возмущение

$$\delta H=-q\varepsilon a\cos\phi.$$

Рассмотрите вырожденные состояния $|\pm1\rangle$. Вычислите поправки к их энергиям второго порядка и исправленные состояния в нулевом порядке по возмущению.