Вырожденная теория возмущений для матрицы 3×3

Адаптировано из Шиффа. Сакураи называет эту задачу «вызовом для экспертов».

Рассмотрите матрицу

$$\begin{pmatrix}E_1&0&\epsilon_1\\0&E_1&\epsilon_2\\\epsilon_1^*&\epsilon_2^*&E_2\end{pmatrix}.\tag{4}$$

Здесь $E_1\ne E_2$, а $\epsilon_i$ — возмущения. В первом порядке вырождение собственных векторов с энергией $E_1$ не снимается.

(a) Вычислите точные собственные значения и разложите их до второго порядка по возмущениям. Найдите соответствующие собственные состояния до первого порядка по возмущению.

(b) С помощью теории возмущений — невырожденной и вырожденной — воспроизведите полученные собственные значения и собственные векторы в нулевом порядке.