Средние обратных степеней радиуса в атоме водорода

Математический контекст: для дифференцируемого семейства нормированных собственных состояний тождество Фейнмана — Геллмана имеет вид $\partial E/\partial\lambda=\langle\partial H/\partial\lambda\rangle$.

Адаптировано из задачи 6.33 Гриффитса, с. 288.

Эффективный гамильтониан радиальных волновых функций имеет вид

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr^2}+\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2}-\frac{e^2}{r}.\tag{5}$$

Энергии атома водорода равны

$$E_n=-\frac{e^2}{2a_0n^2},$$

$$a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}.\tag{6}$$

При решении радиального уравнения полагают $n=N+\ell+1$, где $N$ — степень радиального полинома. (Лемма Фейнмана — Геллмана объясняется в задаче 6.32 и опубликованной главе 14 лекций курса 8.05.)

(a) С помощью этой леммы для параметра $\lambda=e^2$ выведите $\langle1/r\rangle$.

(b) С помощью этой леммы для параметра $\lambda=\ell$ выведите $\langle1/r^2\rangle$. Представьте, не вполне строго, что $\ell$ можно считать непрерывной переменной. Иной подход см. у Шанкара, с. 470, упражнение 17.3.4.