Теорема вириала для кулоновских состояний

(a) Для не зависящего от времени оператора $\Omega$

$$i\hbar\frac{d\langle\Omega\rangle}{dt}=\langle[\Omega,H]\rangle.$$

Подробно объясните, почему правая часть исчезает в стационарном состоянии.

(b) Положите $\Omega=\mathbf r\cdot\mathbf p$ и докажите, что для любого стационарного состояния водорода $\langle T\rangle=-\langle V\rangle/2$, где $T,V$ — операторы кинетической и потенциальной энергии.

(c) Запишите $\langle T\rangle=m\langle v^2\rangle/2$, где $m$ практически равна массе электрона. Выразите $\sqrt{\langle v^2\rangle}/c$ через $\alpha=e^2/(\hbar c)\simeq1/137$ и главное число $n$. Релятивистский ли электрон? Дайте соответствующие ответы для основного состояния при ядре с $Z$ протонами.

(d) Найдите $\langle1/r\rangle$ в произвольном собственном состоянии энергии водорода.