Круговое водородное состояние при большом n

Для водорода фиксировано главное число $n$, а $\ell=n-1$ и $m=n-1$. Целое $n$ произвольно и может быть большим.

(a) Представьте $\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)$ как нужную сферическую гармонику, умноженную на радиальную функцию, определённую полностью, кроме общей безразмерной нормировочной постоянной $N$.

(b) Найдите с точностью до нормировки радиальную плотность $P(r)$, для которой $P(r)dr$ — вероятность оказаться в $(r,r+dr)$. Где её максимум? При больших $n$ он довольно узкий.

(c) Известно, что с точностью до нормировки $|Y_{\ell\ell}(\theta,\varphi)|^2\propto(\sin\theta)^{2\ell}$. Нарисуйте зависимость от $\theta$ на $[0,\pi]$ при большом целом $\ell$. Опишите словами либо рисунком область, где вероятнее всего находится электрон при больших $n$ и $\ell=m=n-1$.

В листе формул даны $a_0=\hbar^2/(me^2)$ и вид водородной радиальной функции: $R_{n\ell}(r)\propto r^\ell e^{-r/(na_0)}$, умноженное на многочлен степени $n-(\ell+1)$.