Почти безвзрывная проверка бомб в резонаторе

Усовершенствуйте идею интерферометра Маха–Цендера, приближая долю проверенных без взрыва бомб Элицура–Вайдмана к 100%. Исправная бомба поглощает любой попавший в её фотодетектор фотон и взрывается; неисправная прозрачна.

Используется сильно отражающий светоделитель BS с фиксированным большим положительным целым $N$. Обозначим

$$M(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&i\sin\alpha\\i\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix},\qquad U=M\left(\frac\pi{2N}\right).$$

Тогда $R=\cos^2[\pi/(2N)]$, $T=\sin^2[\pi/(2N)]$ и $R+T=1$. Для вертикального BS левую сторону представляет состояние $(1,0)^T$, правую — $(0,1)^T$, как для падающих, так и для уходящих фотонов. Установка показана на исходных рисунках. В источнике дана полезная матричная формула $M(\alpha)M(\beta)=M(\alpha+\beta)$.

(a) Найдите $U^k$.

(b) Поместите BS посередине между идеальными зеркалами M1,M2 на равных расстояниях. Впустите фотон слева: обе части отражаются от зеркал и снова встречают BS. После $k$ попаданий найдите $p_L(k),p_R(k)$, а также их значения при $k=N$.

(c) Справа установлен поглощающий фотодетектор. После времени, необходимого для $N$ попаданий, найдите вероятность остаться слева $P_L(N)$ и вероятность обнаружения $P_D(N)$.

(d) Оцените обе вероятности при больших $N$. Полезны $\cos\epsilon\simeq1-\epsilon^2/2$ и $(1+\epsilon)^k\simeq1+k\epsilon$ при достаточно малом $\epsilon$.

(e) Замените детектор неизвестной бомбой. Впустите фотон слева, дождитесь $N$ попаданий и, если лаборатория не взорвалась, найдите фотон.

(i) Что означает обнаружение фотона слева?

(ii) Какова вероятность взрыва $P_E(N)$ исправной бомбы? Оцените её при $N=250$.