Квантовая частица на поверхности короткого цилиндра

Частица на отрезке длины $a$ обобщается до частицы на поверхности малого цилиндра длины $a$ и длины окружности $L$. На исходном рисунке цилиндр развёрнут в прямоугольник $0\le x\le a$, $0\le y\le L$: горизонтальные стороны со стрелками отождествлены. Потенциал нулевой внутри и бесконечен на вертикальных границах $x=0,a$. Используйте двумерное уравнение Шрёдингера.

(a) Разделите переменные, выпишите два полученных уравнения и граничные условия.

(b) Найдите нормированные состояния $\psi_{n\ell}(x,y)$ и энергии $E_{n\ell}$. Точно укажите диапазоны обоих квантовых чисел.

(c) Найдите энергию основного состояния.

(d) Далее предполагайте отсутствие случайных вырождений, требующих специальных соотношений между $a,L$. Перечислите энергии цилиндра, совпадающие с энергиями одномерного отрезка $0\le x\le a$.

(e) Какие низшие уровни цилиндра отсутствуют у отрезка?

(f) Представьте $y$ пока не обнаруженным малым дополнительным измерением, размер $L$ которого примерно в 1000 раз меньше области локализации $a$. Если $\hbar^2/(2ma^2)=1\,\mathrm{эВ}$, оцените минимальную энергию, которую нужно исследовать, чтобы заметить это измерение.