Резонансное прохождение двух дельта-барьеров

Пусть потенциал $V(x)=g\delta(x+a)+g\delta(x-a)$ имеет положительную силу, а безразмерный параметр $\lambda=mag/\hbar^2\ge0$. Для частицы, падающей слева, используйте

$$\psi(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx},&x<-a,\\Ce^{ikx}+De^{-ikx},&|x|<a,\\Fe^{ikx},&x>a.\end{cases}$$

Комплексные постоянные должны удовлетворять стационарному уравнению Шрёдингера. Найдите условия резонансного прохождения — коэффициента прохождения 1.

(a) Какая постоянная должна исчезнуть? Кратко объясните.

(b) Положите её равной нулю и получите четыре граничных уравнения. Приведите их к двум равенствам вида $C+De^{\cdots}=\cdots$ и двум вида $C-De^{\cdots}=\cdots$. Запишите пропущенные выражения через $ka,\lambda$, постоянные анзаца и числовые множители.

(c) Без доказательства можно использовать условие совместности

$$\xi\cot\xi=-2\lambda,\qquad\xi=2ka.$$

Постройте $\xi\cot\xi$ на $[0,3\pi]$, добавив горизонтальные линии $-2\lambda$ для очень малой и очень большой $\lambda$. Укажите приближённые значения $ka$ полного прохождения при $\lambda\ll1$ и при $\lambda\gg1$.

(d) При выполнении этого условия справедливы

$$\frac CD=-\frac1{\cos(2ka)},\qquad C=\left(1+\frac\lambda{ika}\right)A.$$

Рассмотрите первый резонанс при большом $\lambda$. Найдите приближённую волновую функцию при $|x|<a$. Положив $A=1$, нарисуйте примерный график $|\psi(x)|^2$ при всех $x$ и объясните его особенности.