Водород в сильном и слабом магнитном поле

Разберите оба режима магнитного поля в авторском примере эффекта Зеемана для водорода. Пренебрегите спином протона и сверхтонким расщеплением; спин электрона равен $s=1/2$, $g_s=2$. При $e>0$, в гауссовской системе электромагнитных единиц и поле $\mathbf B=B\hat z$ оставьте линейное по полю слагаемое

$$\delta H_Z=\frac{\mu_BB}{\hbar}(L_z+2S_z),$$

$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_ec}.$$

Кулоновская энергия равна $E_n^{(0)}=-\alpha^2m_ec^2/(2n^2)$. Связанные состояния $|n,l,j,m_j\rangle$ диагонализуют тонкую структуру, а состояния $|n,l,m_l,m_s\rangle$ — $\delta H_Z$. Операторы тонкой структуры и эффекта Зеемана в общем случае не коммутируют, поэтому один базис не диагонализует оба одновременно.

**Сильное поле.** Когда зеемановское расщепление значительно больше тонкой структуры, выберите невозмущённый гамильтониан и возмущение и найдите энергию до первого порядка по тонкой структуре в несвязанном базисе. Ранее в этой главе автор получил для $l\ge1$

$$C_n=\frac{\alpha^4m_ec^2}{2n^3},$$

$$\Delta E_{nl}^{\rm rel}=C_n\left(\frac3{4n}-\frac1{l+1/2}\right),$$

$$\delta H_{\rm SO}=\frac{C_n}{l(l+1/2)(l+1)}\frac{\mathbf L\cdot\mathbf S}{\hbar^2},$$

где последний оператор уже усреднён по радиальной волновой функции. При $l=0$ спин-орбитальный член нулевой, а полный сдвиг тонкой структуры с дарвиновским вкладом равен $C_n[3/(4n)-1]$. Объясните, почему в несвязанном базисе в $\langle\mathbf L\cdot\mathbf S\rangle$ вносят вклад только z-компоненты. Оцените поле, необходимое для превышения расщепления между $n=2$, $j=1/2$ и $j=3/2$.

**Слабое поле.** Когда тонкая структура значительно больше зеемановского расщепления, выберите невозмущённый гамильтониан и возмущение и найдите магнитный сдвиг первого порядка. Автор вычисляет $\langle S_z\rangle$ по связанному спинору

$$\begin{aligned}|j,m_j\rangle={}&c_+|m_j-1/2,+1/2\rangle\\&+c_-|m_j+1/2,-1/2\rangle.\end{aligned}$$

Для $j=l\pm1/2$, при согласованном выборе верхних либо нижних знаков,

$$c_+=\pm\sqrt{\frac{l\pm m_j+1/2}{2l+1}},$$

$$c_-=\sqrt{\frac{l\mp m_j+1/2}{2l+1}}.$$

В правых кетах указаны $m_l,m_s$; на краях состояния с нулевым коэффициентом отсутствуют. Найдите множитель Ланде для обеих ветвей $j$. При $l=0$ существует только $j=1/2$. Используйте ведущую полную поправку тонкой структуры

$$\Delta E_{nj}^{\rm fs}=\frac{\alpha^4m_ec^2}{8n^4}\left(3-\frac{4n}{j+1/2}\right).$$

Для оценки поля можно взять $\alpha\simeq1/137$, $m_ec^2\simeq5.11\times10^5\,\text{эВ}$ и приближённое значение источника $\mu_B\simeq5.8\times10^{-5}\,\text{эВ/Тл}$. Рассматривается указанная линейная по полю модель; квадратичные магнитные члены опущены.