Жёсткие стенки и осциллятор в приближении ВКБ

Сравните авторские примеры квазиклассического квантования с жёсткими стенками и с гармоническим осциллятором. В разрешённой области обозначьте $p(x)=\sqrt{2m[E-V(x)]}$, а в запрещённой — $\kappa(x)=\sqrt{2m[V(x)-E]}$. Считайте приближение ВКБ применимым вдали от границ и точек поворота.

**Две жёсткие стенки.** Пусть $V(x)=\infty$ при $x\le0$ и $x\ge a$, внутри $0<x<a$ потенциал конечен и всюду $E>V(x)$. На рисунке 1 показан потенциал. Квазиклассическую функцию в разрешённой области можно записать как

$$\psi(x)=\frac{C\cos\varphi(x)+D\sin\varphi(x)}{\sqrt{p(x)}},$$

$$\varphi(x)=\frac1\hbar\int_0^x p(x')\,dx'.$$

Примените граничные условия, найдите условие квантования энергии и проверьте его при $V(x)=0$ внутри ямы.

**Осциллятор и мягкие стенки.** Для $H=p^2/(2m)+m\omega^2x^2/2$ точные энергии равны $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$, $n=0,1,\ldots$; обозначим $\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)}$. Найдите точки поворота и вычислите $\hbar^{-1}\int p(x)dx$ между ними. Сравните результат с правилом для жёстких стенок. Найдите ведущую экспоненциальную скорость убывания квазиклассической волновой функции далеко за точками поворота и сравните её с гауссовым хвостом осциллятора.

Затем примените авторские формулы сшивки, чтобы получить правило квантования для мягких стенок и объяснить изменение фазы. Рисунок 2 показывает две ориентации простой точки поворота. Формулы связывают

$$\psi_{\rm allowed}=\frac{2A\sin\theta+B\cos\theta}{\sqrt p},$$

$$\psi_{\rm forbidden}=\frac{Ae^{-K}+Be^K}{\sqrt\kappa}.$$

Для правой точки $x=a_t$, слева от которой область разрешена,

$$\theta=\frac1\hbar\int_x^{a_t}p(x')dx'+\frac\pi4,$$

$$K=\frac1\hbar\int_{a_t}^x\kappa(x')dx'.$$

Для левой точки $x=b_t$, справа от которой область разрешена,

$$\theta=\frac1\hbar\int_{b_t}^xp(x')dx'+\frac\pi4,$$

$$K=\frac1\hbar\int_x^{b_t}\kappa(x')dx'.$$

Константы по обе стороны каждой точки поворота соответствуют друг другу указанным образом. На каждом бесконечном конце связанного состояния осциллятора растущая экспонента исключается. Это асимптотические связи вдали от точки поворота, где сами отдельные выражения ВКБ неприменимы. Автор предупреждает: малый коэффициент растущего решения нельзя в общем случае отбрасывать — достаточно далеко в запрещённой области оно может стать главным. Вывод формул сшивки через функции Эйри служит контекстом и не является дополнительным заданием.