Граничные члены и эрмитовость степеней импульса

Задача 6.15 Гриффитса, с. 270. Здесь приведено условие с небольшими изменениями. Автор предупреждает: исправление появилось лишь во втором издании Cambridge University Press (2016).

(a) Покажите, что $p^2$ эрмитов для состояний водорода с $\ell=0$. В таких состояниях $\psi$ не зависит от $\theta$ и $\phi$, поэтому

$$p^2\equiv-\frac{\hbar^2}{r^2}\frac d{dr}\left(r^2\frac d{dr}\right).$$

Интегрированием по частям покажите, что эрмитовость выполняется с точностью до граничного члена:

$$\begin{aligned}\langle f|p^2g\rangle-\langle p^2f|g\rangle&=-4\pi\hbar^2 B,\\B&=\left[r^2f\frac{dg}{dr}-r^2g\frac{df}{dr}\right]_0^\infty.\end{aligned}$$

Волновая функция состояния $\psi_{n00}$ имеет вид

$$\begin{aligned}\psi_{n00}(r)&\sim NP(r)e^{-r/(na_0)},\\P(r)&=1+c_1r+\cdots+c_{n-1}r^{n-1}\end{aligned},$$

где $N$ и $c_i$ — постоянные. Проверьте, что граничный член исчезает при $g=\psi_{n00}$ и $f=\psi_{n'00}$.

(b) Случай $p^4$ тоньше: лапласиан функции $1/r$ содержит дельта-функцию. Покажите, что

$$\begin{aligned}\nabla^2\nabla^2e^{-kr}&=\left(-\frac{4k^3}r+k^4\right)e^{-kr}\\&\quad+8\pi k\delta^{(3)}(\mathbf r).\end{aligned}$$

С помощью этого равенства проверьте эрмитовость $p^4$ при вычислении скалярного произведения $\langle e^{-k'r}|p^4e^{-kr}\rangle$.