Волновая функция в центре сферически-симметричного потенциала

Основано на «Современной квантовой механике» Сакураи.

Для частицы в связанном состоянии центрального потенциала $V(r)$ с нулевым угловым моментом ($\ell=0$) существует неожиданная связь между значением волновой функции $\psi(0)$ в начале координат и средним производной потенциала:

$$|\psi(0)|^2\sim\left\langle\frac{dV}{dr}\right\rangle.$$

Выведите такую связь и точно определите коэффициент. Подсказка: начните с радиального уравнения для $u(r)$, умножьте его на $u'(r)$ и проинтегрируйте от $r=0$ до $r=\infty$.

С помощью результата вычислите $|\psi_{n00}(0)|^2$ для $nS$-состояний водорода. Проверьте ответ при $n=1$.