Тождества для векторных операторов

Пусть операторы углового момента $\hat J_i$, $i=1,2,3$, задают момент $\hat{\mathbf J}$. Набор операторов $\hat W_i$, $i=1,2,3$, называют векторным оператором $\hat{\mathbf W}$, если

$$[\hat J_i,\hat W_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat W_k.$$

Сам $\hat{\mathbf J}$ также является векторным оператором.

(a) Покажите, что при $\hat{\mathbf J}=\hat{\mathbf L}$, где $\hat{\mathbf L}$ — орбитальный момент, оператор координаты $\hat{\mathbf x}$ является векторным.

(b) Покажите, что если $\hat{\mathbf U}$ и $\hat{\mathbf V}$ — векторные операторы, то их векторное произведение $\hat{\mathbf U}\times\hat{\mathbf V}$ также является векторным оператором.

(c) Покажите, что для векторного оператора $\hat{\mathbf W}$

$$[\hat J^2,\hat{\mathbf W}]=2i\hbar\left(\hat{\mathbf W}\times\hat{\mathbf J}-i\hbar\hat{\mathbf W}\right).$$

Проверьте формулу при $\hat{\mathbf W}=\hat{\mathbf J}$.

(d) Покажите, что для векторного оператора $\hat{\mathbf V}$ справедливо тождество

$$\begin{aligned}\frac1\alpha[\hat J^2,[\hat J^2,\hat{\mathbf V}]]&=(\hat{\mathbf V}\cdot\hat{\mathbf J})\hat{\mathbf J}\\&\quad-\frac12(\hat J^2\hat{\mathbf V}+\hat{\mathbf V}\hat J^2),\end{aligned}$$

и определите постоянную $\alpha$.