Постоянное и вращающееся поперечное поле

Разберите полное авторское сравнение постоянного и вращающегося поперечных магнитных полей в примере ядерного магнитного резонанса. Частица со спином $1/2$ имеет

$$H_0=\omega_0S_z=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z,$$

а начальный спинор $|\psi(0)\rangle$ произволен. Здесь $S_i=\hbar\sigma_i/2$. В источнике для иллюстрации большого различия частот приведены протонный резонанс около $500\,\text{МГц}$ и масштаб поперечного воздействия около $20\,\text{кГц}$. В гамильтонианах используйте угловые частоты согласованно: обычной частоте $f$ соответствует $\omega=2\pi f$.

**Постоянное поперечное поле.** Добавим $\delta H=\Omega S_x$, где $|\Omega|\ll\omega_0$. Найдите точную эволюцию спина: ось и угловую частоту прецессии. Сравните её с независимым авторским расчётом первого порядка нестационарной теории возмущений в представлении взаимодействия. Хотя гамильтониан постоянен, вычисляемая величина — зависящее от времени состояние.

Используйте

$$|\widetilde\psi(t)\rangle=e^{iH_0t/\hbar}|\psi(t)\rangle,$$

$$\delta\widetilde H(t)=e^{iH_0t/\hbar}\delta H(t)e^{-iH_0t/\hbar}.$$

Вычислите $\delta\widetilde H$ и поправку первого порядка к состоянию и объясните полученную в этом расчёте малость воздействия.

**Резонансно вращающееся поперечное поле.** Вместо этого приложим

$$\delta H(t)=\Omega[\cos(\omega_0t)S_x+\sin(\omega_0t)S_y].$$

Найдите точный гамильтониан в представлении взаимодействия, затем состояние в этом представлении и в лабораторной системе для произвольного $|\psi(0)\rangle$. Объясните, почему вращение слабого поперечного поля позволяет существенно повернуть спин.