Тепловое равновесие и коэффициенты Эйнштейна

Воспроизведите авторское рассуждение о тепловом равновесии двухуровневых атомов, связывающее спонтанное испускание, вынужденное испускание и поглощение.

Атом может находиться в состояниях $a,b$ с энергиями $E_b>E_a$. Их населённости равны $N_a,N_b$. Обозначим $\omega=(E_b-E_a)/\hbar$, $\beta=1/(k_BT)$. Атомы и фотонный резервуар находятся в тепловом равновесии при температуре $T$. Даны соотношения

$$\dot N_a=\dot N_b=0,$$

$$\frac{N_b}{N_a}=e^{-\beta\hbar\omega},$$

$$U(\omega)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}\frac1{e^{\beta\hbar\omega}-1}.$$

Здесь $U(\omega)$ — плотность энергии чернотельного излучения на единичный интервал угловой частоты; используется гауссовская система электромагнитных единиц.

Скорость поглощения при переходе $a\to b$ равна $B_{ab}N_aU(\omega)$. Скорость спонтанного перехода $b\to a$ равна $AN_b$, а вынужденного — $B_{ba}N_bU(\omega)$. Запишите баланс населённостей и потребуйте его выполнения при любой температуре. Найдите связи между $A,B_{ab},B_{ba}$; ненулевое вынужденное испускание заранее не предполагается.

Ранее в главе усреднение дипольного перехода по поляризациям даёт

$$B_{ab}=\frac{4\pi^2}{3\hbar^2}|\mathbf d_{ab}|^2,$$

где $\mathbf d_{ab}$ — матричный элемент электрического дипольного момента. Найдите по нему оба коэффициента $B$ Эйнштейна и скорость спонтанного испускания $A$.

Наконец, объясните квантовое толкование автора: испусканию в фотонную моду соответствует

$$a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle.$$

Почему скорость испускания при наличии $n$ фотонов в моде в $n+1$ раз больше скорости для вакуума? Какие слагаемые отвечают вынужденному и спонтанному испусканию? В частности, почему испускание возможно, даже если в моде изначально нет фотонов?