Функции Эйри и связанные состояния в линейном потенциале

Рассмотрите уравнение Шрёдингера для частицы массы $m$ в потенциале

$$V(x)=\begin{cases}gx,&x>0,\\\infty,&x\le0,\end{cases}\tag{1}$$

где $g>0$ — постоянная.

(a) Обезразмерьте уравнение Шрёдингера заменой $x=L\tilde u$, где $\tilde u$ безразмерна, а масштаб длины $L$ задан равенством

$$L^3=\frac{\hbar^2}{2mg}.$$

Дальнейшей заменой на также безразмерную переменную $u$ приведите уравнение к виду

$$\frac{d^2\psi}{du^2}=u\psi.\tag{2}$$

(b) Уравнение (2), продолженное на $u\in(-\infty,\infty)$, удобно решать в импульсном представлении. Для безразмерной импульсной переменной $k$ положим

$$\tilde\psi(k)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iku}\psi(u)\,du,$$

с обратным преобразованием

$$\psi(u)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iku}\tilde\psi(k)\,dk.$$

Найдите дифференциальное уравнение для $\tilde\psi(k)$ и решите его с условием $\tilde\psi(0)=1$. Запишите ответ для $\psi(u)$ в виде интеграла

$$\psi(u)=\frac1\pi\int_0^{\infty}dk\cos(\cdots),$$

определив функцию $k,u$ на месте многоточия. Получится интегральное представление функции Эйри: $\psi(u)=\operatorname{Ai}(u)$. Для проверки подтвердите численным интегрированием значение $\operatorname{Ai}(1)=0.135292$. По интегральному представлению можно показать, что при больших положительных $u$ функция $\operatorname{Ai}(u)$ быстро убывает, а при $u<0$ осциллирует.

(c) Найдите первые два нуля функции Эйри. По ним определите энергии $E$ двух нижних собственных состояний исходного потенциала (1) со стенкой при $x=0$. Представьте ответы в виде

$$E=\#\left(\frac{\hbar^2g^2}{2m}\right)^{1/3},$$

где коэффициенты $\#$ безразмерны.