Наблюдаемые водорода и сильнополевой эффект Зеемана

Обозначим массу электрона через $m_e$, его заряд — через $e$. Гамильтониан водорода, использованный в курсе 8.04, имеет вид

$$H_0=\frac{p^2}{2m_e}-\frac{e^2}{r}.$$

В этой задаче учитывается спин электрона с оператором $\vec S$, но спином протона пренебрегают. Полный момент равен $\vec J=\vec L+\vec S$.

(a) Полные наборы совместимых наблюдаемых. Полный набор совместимых наблюдаемых — это набор коммутирующих операторов, каждое совместное собственное подпространство которых одномерно. Иными словами, задание всех собственных значений всех операторов набора однозначно определяет состояние с точностью до скалярного множителя. Можно без доказательства использовать, что (i) $H_0,\vec L^{\,2},L_z,S_z$ образуют такой набор с базисом $\{|n,l,m_l,m_s\rangle\}$ и (ii) $H_0,\vec L^{\,2},\vec J^{\,2},J_z$ также образуют такой набор с базисом $\{|n,l,j,m_j\rangle\}$. По правилам сложения моментов (ii) следует из (i). Для каждого из следующих наборов либо объясните, почему он полон, либо объясните, почему он не является полным набором совместимых наблюдаемых. Для простоты рассматривайте только связанные состояния.

i. $H_0,\vec L^{\,2},\vec L\cdot\vec S,J_z$.

ii. $H_0,\vec L^{\,2},L_z,S_x$.

iii. $H_0,\vec L^{\,2},J_z,S_z$.

iv. $H_0,\vec J^{\,2},J_z,S_z$.

v. $H_0,\vec J^{\,2},\vec L\cdot\vec S,J_z$.

(b) Сильнополевой эффект Зеемана. Невозмущённые собственные состояния — $|n,l,m_l,m_s\rangle$. Их энергии уже сдвинуты на величину, пропорциональную $m_l+2m_s$, зеемановским гамильтонианом. Более сложная часть расчёта — учёт тонкой структуры, которую можно представить слагаемым

$$H_{\mathrm{fs}}=-\frac{m_ec^2\alpha^4}{2n^3}\left(\frac1{\hat j+1/2}-\frac3{4n}\right),$$

где $\hat j$ удовлетворяет $\vec J^{\,2}=\hbar^2\hat j(\hat j+1)$. Для вычисления энергетических сдвигов первого порядка нужно найти

$$\left\langle n,l,m_l,m_s\left|\frac1{\hat j+1/2}\right|n,l,m_l,m_s\right\rangle.\tag{1}$$

i. Сначала вычислите среднее значение $\vec J^{\,2}$ в состоянии $|n,l,m_l,m_s\rangle$. Затем представьте измерение $\hat j$ и найдите вероятности результатов $j=l+1/2$ и $j=l-1/2$. Наконец, используя равенство (1) выражению

$$\frac{\Pr[j=l+1/2]}{l+1}+\frac{\Pr[j=l-1/2]}{l},\tag{2}$$

воспроизведите известный результат для $E_{\mathrm{fs}}^{1}$ в сильнополевом эффекте Зеемана, см. формулу (6.82) Гриффитса. Полный эффект Зеемана включает также вклад внешнего магнитного поля. При $l=0$ существует только $j=1/2$; выражение (1) вычисляется напрямую без второго слагаемого (2).

ii. В (1) использована теория возмущений для невырожденного уровня, но невозмущённые энергии зависят от $m_l+2m_s$, поэтому вырождение существует. Возможно, полезно будет изобразить эти вырождения для уровня $n=2$. Подробно и тщательно объясните, почему несмотря на это рассуждение остаётся верным.