Излучательный распад трёхмерного осциллятора

Найдите время жизни частицы с зарядом $q$ и массой $m$ в первых возбуждённых состояниях трёхмерного изотропного гармонического осциллятора частоты $\omega$.

По аналогии с водородом назовём состояния $|1,0,0\rangle$, $|0,1,0\rangle$, $|0,0,1\rangle$ состояниями $2p$, а основное состояние $|0,0,0\rangle$ — состоянием $1s$. Другой базис $2p$ образуют собственные состояния $L_z$:

$$|m_\ell=1\rangle=\frac{|1,0,0\rangle+i|0,1,0\rangle}{\sqrt2},$$

$$|m_\ell=0\rangle=|0,0,1\rangle,$$

$$|m_\ell=-1\rangle=\frac{|1,0,0\rangle-i|0,1,0\rangle}{\sqrt2}.$$

(a) Вычислите скорость перехода $\Gamma(2p,m_\ell\to1s)$: вероятность за единицу времени спонтанного испускания электромагнитного излучения с переходом в основное состояние. Покажите её независимость от $m_\ell$ и выразите $\Gamma(2p\to1s)$ через $m$, $\omega$, $q$ и фундаментальные постоянные.

(b) Каково время жизни состояния $2p$? Считая эту систему моделью водорода, возьмите частицу-электрон и положите $\hbar\omega=\frac34E_{\rm Ry}$, чтобы получить время жизни в секундах. Здесь $E_{\rm Ry}=1\text{ ридберг}=13.6\,\mathrm{эВ}$.