Три частицы в трёхуровневой системе

Основано на задаче 1 Коэна-Таннуджи, с. 1447.

Рассмотрите гамильтониан $H_0$ орбитальных степеней свободы частицы. Его нормированные собственные состояния $\psi_0(x)$, $\psi_1(x)$ и $\psi_2(x)$ имеют соответственно энергии $0$, $\hbar\omega$ и $2\hbar\omega$. Если спин частицы равен $s$, каждое из этих состояний имеет вырождение кратности $2s+1$.

Теперь рассмотрите три тождественные частицы с гамильтонианом

$$H=H_0^{(1)}+H_0^{(2)}+H_0^{(3)},$$

где верхний индекс обозначает номер частицы.

(a) Пусть все три частицы — электроны. Найдите уровни энергии гамильтониана и их кратности вырождения. Выпишите волновую функцию состояния или состояний, в которых спины всех трёх электронов направлены вверх.

(b) Пусть все три частицы — бозоны со спином ноль. Найдите уровни энергии и их кратности вырождения.

(c) Пусть все три частицы подчиняются статистике Максвелла — Больцмана и не имеют спина. Найдите уровни энергии и их кратности вырождения.