Преобразование Фурье меняет сдвиг и фазу

Оператор преобразования Фурье $F$ — аналог оператора Адамара $H$ для кудита. Определим его как оператор, переводящий собственные состояния $Z$ в собственные состояния $X$: $F\equiv\sum_{j=0}^{d-1}|\widetilde{j} \rangle\langle j\vert.$ На состояния вычислительного базиса кудита он действует следующим образом:

$$\vert j\rangle\rightarrow\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1}\exp\left\{ i2\pi jk/d\right\} \vert k\rangle.$$

Покажите, что для оператора преобразования Фурье $F$ выполняются соотношения $FX( x) F^{\dagger} =Z( x)$, $FZ( z) F^{\dagger} =X( -z) $.